Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）证明：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE=$\sqrt{3}$，∠B=30°，过点D作DG⊥BA，交⊙O于点G，垂足为F，求图中由弦DG，劣弧DG围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．
（2）根据等腰三角形的性质求得∠B=∠C=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得DE=$\sqrt{3}$
CD=2$\sqrt{3}$，进而求得BD=DC=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理求得AB，即可求得半径，根据∠DBO=∠BDO=30°，得出∠DOF=60°，然后根据S=S_扇形ODG-S_△ODG求得即可．

解答 （1）证明：连接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
在RT△CDE中，DE=$\sqrt{3}$
∴CD=2$\sqrt{3}$，
连接AD，∵AB是直径，
∴∠ADC=90°，
∴点D是BC的中点，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
在RT△ABD中，设AD=x，AB=2x，由勾股定理得，AB²=AD²+BD²  （2x）²=x²+（2$\sqrt{3}$^）2
解得x=2，
∴AB=4，半径OA=2，
∵∠DBO=∠BDO=30°，
∴∠DOF=60°，
又∵DG⊥BA，∠ODF=30°，
∴OF=1，DF=$\sqrt{3}$，DG=2$\sqrt{3}$，
连接OG，OD=OG，∠DOG=120°，
所求面积S=S_扇形ODG-S_△ODG=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，直角三角函数以及扇形的面积等．找出辅助线构建直角三角形和等腰三角形是解题的关键．