Question

已知b-2=

a2-1 + 1-a2

a+1

，求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2009)(b+2009)

的值．

Answer 1

分析：根据二次根式有意义的条件得到a²-1≥0且1-a²≥0，得到a²=1，而分母不为0，所以a=1，b-2=0，即b=2，于是原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

，然后根据

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）进行计算．

解答：解：∵a²-1≥0且1-a²≥0，
∴a²=1，
∵a+1≠0，
∴a=1，
∴b-2=0，即b=2，
∴原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

．

点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了二次根式有意义的条件．