Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₁₃是一列互不相等的正整数．若任意改变这2013个数的顺序，并记为b₁，b₂，…，b₂₀₁₃，则数N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）的值必为（　　）

• A、偶数
• B、奇数
• C、0
• D、1

Answer 1

分析：采用反证法加以证明：若N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）为奇数，则a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇数，从而得到a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中的奇数、偶数的个数与b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中的奇数、偶数的个数互相交换，由此列式得到与2013为奇数矛盾，从而得出数N不是奇数，可得本题答案．

解答：解：根据“当且仅当各个因式都为奇数，积为奇数”，可得
当且仅当a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇数时，N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）为奇数．
假设N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）为奇数，
则满足a_i-b_i（i=1，2，…，2013）是奇数，可得a_i是奇数则b_i为偶数，或a_i是偶数则b_i为奇数．
设a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中有x个奇数（x≤2013且x∈N），则有（2013-x）个偶数．
根据前面推出的奇偶数规律，可得b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中必定有x个偶数和（2013-x）个奇数，
∵b₁、b₂、…、b₂₀₁₃是由a₁、a₂、…、a₂₀₁₃重新排序而得，
∴b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中奇数个数等于a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中偶数的个数，
即2013-x=x，得x=

2013

2

∉N，与题设矛盾
∴假设不成立，可得N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）一定是偶数．
故选：A．

点评：考查了奇数与偶数，反证法．本题给出2013个数的积，判断它是奇数还是偶数．考查了归纳推理的一般方法及其应用的知识，属于中档题．