Question

【题目】在平直角坐标系中，规定：抛物线的相关直线为．例如：二次函数的相关直线为．

（1）直接写出抛物线的相关直线，并求出抛物线与其相关直线的交点坐标；

（2）如图，抛物线与它的相关直线交于、两点．

①求抛物线的解析式；

②连结，求的面积；

③作，过抛物线上一动点(不与、重合)作直线的平行线交于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1），交点坐标为，；（2）①；②10；③，

【解析】

（1）根据原文所给的概念直接写出抛物线的相关直线，然后联立二者得到方程组，最后求出方程组的解即可；

（2）①根据相关直线的概念结合题意直接得出，，然后将点B的坐标代入求得，由此即可得出该抛物线的解析式；②首先根据抛物线解析式求出对称轴，从而得出点A坐标，最后根据三角形面积公式进一步计算即可；③首先根据题意得出AB=4，然后利用等腰三角形性质得知点M在AB的垂直平分线上，由此进一步求解得出点M坐标为(3，2)，然后设点P坐标为(，)，点Q坐标为(，)，最后根据平移的性质列出相应的方程组加以分析求解即可.

（1）∵抛物线的相关直线为，

∴的相关直线为：，

联立二者可得：，

解得：或，

∴交点坐标为(0，1)，(，4)；

（2）①由题意得：，，

∵点在上，点B横坐标为0，

∴点B坐标为(5，0)，

∵抛物线过点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为；

②∵抛物线解析式为：，

∴该抛物线对称轴为：，

∵点B坐标为(5，0)，

∴点坐标为(1，0)，

∴；

③∵点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，点C坐标为(0，5)，

∴AB=4，∠ABC=45°，

∵AM⊥BC，

∴△ABM为等腰直角三角形，

∴点M在AB的垂直平分线上，

∴点M的横坐标为1+2=3，

由此将横坐标3代入可得：，

∴点M坐标为(3，2)，

设点P坐标为(，)，点Q坐标为(，)，

根据平移的性质可得：

或，

解得：（舍去），或

综上所述，点P的横坐标为：，.