Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点D（d，0），其中a、b、d满足|a-3|+$\sqrt{b+1}$+（2-d）²=0，DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO，直线AE交x轴于点C．
（1）求A、B、D三点的坐标；
（2）求证：△ABO≌△BED；
（3）求直线AE的解析式；
（4）动点P在y轴上，求PE+PC取最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0即可列方程求得a、b、d的值，从而求解；
（2）根据（1）即可求得OA和BD的长，然后利用AAS即可证得；
（3）根据（2）求得DE的长，则E的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得AE的解析式；
（3）首先求得C的坐标，然后求得C关于y轴的对称点，这个点与E所在的直线与y轴的交点就是P，首先求得直线解析式，然后求P的坐标即可．

解答 解：（1）根据题意得：a-3=0，b+1=0，2-d=0，
解得：a=3，b=-1，c=2，
则A的坐标是（0，3），B的坐标是（-1，0），D的坐标是（2，0）；
（2）∵B的坐标是（-1，0），D的坐标是（2，0），A的坐标是（0，3），
∴BD=3，AO=3，
∴BD=AO，
在△ABO和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠ABO}\\{∠AOB=∠BDE}\\{AO=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BED；
（3）由（2）得E（2，1），
设AE的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
则AE的解析式是：y=-x+3；
（4）在y=-x+3中，令y=0，解得：x=3，
则C的坐标是（3，0），则C关于y轴对称点（-3，0）．
设经过（-3，0）和E的直线解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{5}}\\{n=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
则解析式是y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{3}{5}$，
令x=0，解得y=$\frac{3}{5}$．
则P的坐标是（0，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求直线的解析式，以及图形的对称以及全等三角形的判定和性质，正确确定P的位置是关键．