Question

如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心点A在轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，，二次函数的图象经过点A、B、C.动点P和点Q同时从点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动.点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当时，直接写出点P的坐标；

（3）在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）解：连接AC

为半圆的圆心，OB=8

   

 △AOC为等边三角形

 

易知

二次函数图象的对称轴为x=6

将点，分别代入解得：

.

（2）         

（3）连接BC、 DB，延长DB、PQ交于点E

     ，

△OPQ∽△OCB

∠OPQ=∠OCB

为半圆的直径

∠OCB=90º

∠OPQ=90º

在Rt△OPQ中，PQ=  

连接CD

点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点

CD∥OB

且对称轴为x=6

CD=OB=8

四边形OCDB为平行四边形

OC∥DB

∠DEP=∠OPQ=90º

在Rt△BEQ中，∠BQE=30º，

 

        

S_△DPQ=

即        

当t =4时，△DPQ的面积的最大值为 .