Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，AD=6，BC=14，AE=，点F在DC上运动，连接EF、AF．
（1）求∠B的度数．
（2）设FC=x，△FEC的面积为y，用含x的代数式表示y．
（3）当△FEC的面积为等腰梯形面积的时，判断AF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）
过D作DM⊥BC于M，
∵AE⊥BC，
∴∠AEM=∠AEB=∠DMC=∠DME=90°，AE∥DM，
∵AD∥BC，
∴四边形AEMD是矩形，
∴AE=DM，
∵AB=DC，
∴在Rt△AEB和Rt△DMC中，由勾股定理得：BE=CM=（BC-AD）=×（14-6）=4，
在Rt△AEB中，tanB===，
∴∠B=60°．

（2）
过E作EN⊥CD于N，
则∠ENC=90°，CE=14-4=10，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=60°，
∴∠CEN=30°，
∴CN=CE=5，由勾股定理得：EN==5，
即y=CF•EN=x•5，
∴y=x．

（3）AF=EF，
证明：梯形ABCD的面积是×（AD+BC）×AE=（6+14）×4=40，
∵△FEC的面积为等腰梯形面积的，
∴y=x=×40，
解得：x=4，
即CF=4，
∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=DC==8，
∴F为CD中点，
过F作FQ∥AD，交AE于Q，
∵AD∥BC，
∴AD∥FQ∥BC，
∴AQ=EQ，
∵AE⊥BC，
∴FQ⊥AE，
∴AF=EF．
分析：（1）过D作DM⊥BC于M，求出BE=CM，求出BE值，解直角三角形即可求出答案．
（2）过E作EN⊥CD于N，求出CE，解直角三角形求出EN，根据三角形面积公式求出即可．
（3）根据面积得出关于x的方程，求出CF，过F作FQ∥AD，交AE于Q，求出Q为AE中点，FQ⊥AE，根据线段垂直平分线求出即可．
点评：本题考查了等腰梯形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一次函数的解析式，平行线等分线段定理，线段垂直平分线性质，三角形的面积的应用，综合性比强，有一定的难度．