Question

9．如图，直线l：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则∠OBC=60°．点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，先根据直角三角形的性质求出OA，OB的长度，根据直角三角形特殊角的三角函数值可求得有关角的度数．利用轴对称性和直角三角函数值可求得AE，CE的长度，从而求得点C的坐标．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，
由直线AB的解析式可知
当x=0时，y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，即OB=$\sqrt{3}$
当y=0时，x=1，即OA=1
∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=$\sqrt{3}$
∴∠3=60°，
∵△AOB与△ACB关于直线l对称
∴∠2=∠3=60°，则∠OBC=60°，AC=OA=1，
∴∠1=180°-∠2-∠3=60°，
在Rt△ACE中，
AE=cos60°×AC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
CE=sin60°×AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：60°，（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的性质和有关轴对称的性质，熟练运用数形结合的知识解题是关键．