Question

在△ABC中，AB=AC，
（1）如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；
（2）如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，
∵∠BAC=45°，CE⊥AB，
∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，

∠EAH=∠ECB  AE=CE  ∠AEC=∠BEC=90°

，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴AH=BC，
∵BC=BD+CD，且BD=CD，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP
当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，
∴点P，点Q运动的时间t=

BP

3

=

4

3

秒，
∴vQ=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

厘米/秒．
当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，
∴V_Q=V_P=3厘米/秒．
此时 PC=BM=5，t=

BP

3

=1秒．
综上所述，点Q的运动速度为

15

4

厘米/秒，此时t=

4

3

秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．

点评：此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质．解题时，主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．