Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+3的图象与x轴交于A点和B点（点B 在x轴的正半轴上），与y轴交于C点，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，∠OBC=45°。
（1）求a，k的值；
（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B，C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请你说明理由。

Answer 1

解：（1）由直线y=kx+3与y轴交于点C，得点 C（0，3），
∴∠OBC=45°，
∴OB=CC=3.7，
点B（3，0），
点B（3，0）在二次函数y=ax²+2x+3的图象上，
∴9a+6+3=0，
∴a=-1，
∴y=-x+2+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
k==1；
（2）在二次函数y=-x²+2x+3的图象上存在点P，使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形。
①由（1）可知，直线y=x+3与z轴的交点为E（-3，0），
∴OE=C =3
∴∠CEO=45°，∵∠OBC=45°，
∴∠ECB=90°，
∴∠DCB=90
∴△DCB是以BC为一条直角边的直角三角形，且点D（l，4）在二次函数的图象上，则点D即为所求的P点，
②设∠CBP=90°，点P在二次函数y=-x²+2x+3的图象上，则△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形，
∵∠CBO=45°，
∴∠OBP=45°
设直线BP与y轴交于点F，则F（0，-3），
∴直线BP的表达式为y=x-3，
解方程得或
由题意得，点P（-2，-5）为所求，
综合①②，得二次函数y=-x²+2x+3的图象上存在点P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形。