Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.

（1）求的值；

（2）求证：；

（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；

①当面积最大时，求的长度；

②若点为的中点，求点运动的路径长.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）①或；②.

【解析】

（1）将代入二次函数的解析式即可求解；

（2）证得是等边三角形即可证得结论；

（3）①根据题意，当或时，或面积最大，利用三角形中位线定理可求得的长，利用勾股定理可求得，即可求得答案；

②根据点M的运动轨迹是半径为2的，则的中点的运动轨迹也是圆，同样，的中点的运动轨迹也是圆，据此即可求得答案．

∵二次函数的图象与轴交于两点，

∴，

解得：，

故答案为：，；

（2）由(1)得：抛物线的解析式为，

∵二次函数的图象与轴交于两点，

∴抛物线的对称轴为：，

∴顶点的坐标为：，，

∵，

，

∴，

∴是等边三角形，

∵为线段中点，

∴；

（3）①∵为定值，当时，面积最大，如图，

由(2)得，，，

∴∥，

∵点为线段中点，点为的中点，

∴∥，,

∴三点共线，

在Rt中，，，

∴，

∴；

同理，当时，面积最大，

同理可求得：；

故答案为：或；

②如图，

∵点E的运动轨迹是，半径为，

∴的中点的运动轨迹也是圆，半径为1，

∴的中点M的运动轨迹也是圆，半径为，

∴点M运动的路径长为：．

故答案为：．