Question

综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x²＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

(2)点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q.试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

 解：(1)当y＝0时，－x²＋2x＋3＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.

∵点A在点B的左侧，∴A、B的坐标分别是(－1，0)、(3，0)．(2分)

当x＝0时，y＝3，∴C点的坐标为(0，3)．

设直线AC的解析式为y＝k₁x＋b₁(k₁≠0)，则

解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，(4分)

∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴顶点D的坐标为(1，4)．(6分)

(2)抛物线上有三个这样的点Q，分别为Q₁(2，3)，Q₂(1＋，－3)，Q₃(1－，－3)．(9分)

(3)过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F＝BF，则B为点B关于直线AC的对称点，连接BD交直线于AC于点M，则点M为所求．

过点B′作B′E⊥x轴于点E.(10分)

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1＝∠2.

Rt△AOC∽Rt△AFB，

∴＝，

由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)得

OA＝1，OB＝3，

∴AC＝，AB＝4，

∴＝，∴BF＝，

∴BB′＝2BF＝.由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴B′点的坐标为

设直线B′D的解析式为y＝k₂x＋b₂(k₂≠0)

∴　解得∴y＝x＋.

由　解得∴M点的坐标为