Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，过点A作半圆O的切线交BC的延长线于点F，连结BE，AD

（1）求证：∠F＝∠EBC；

（2）若AE＝2，tan∠EAD＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由切线的性质可得∠F+∠ABC＝90°，可证得∠EBC+∠ACB＝90°，由∠ACB＝∠ABC，可得∠F＝∠EBC；

（2）先求出CE长，则AC可求出，由勾股定理可得AD长．

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，即∠EBC+∠ACB＝90°，

∵AF切半圆O于点A，

∴∠FAB＝90°，

∴∠F+∠ABC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴∠F＝∠EBC；

（2）解：∵∠EAD＝∠CBE，

∴tan，

∴设CE＝x，则BE＝2x，AB＝AC＝2+x．

在Rt△AEB中，22+（2x）2＝（2+x）2，

解得，x1＝0（舍去），．

∴，

在Rt△ACD中，CD2+AD2＝AC2，

∴（），

∴．