Question

下面是小华和小明的对话：
小华：“这个凸多边形的内角和是2005°．”
小明：“不可能吧！你把一个外角当内角加在了一起．”
请问这个多边形的内角和是多少度？

Answer 1

考点：多边形内角与外角

专题：

分析：由n边形的内角和公式为（n-2）180°，可知n边形的内角和一定是180°的整数倍，而2005不能被180整除，所以小明说不可能；根据这个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和为2005°列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．

解答：解：∵2005÷180=11

5

36

，
即2005不能被180整除，
∴小明说不可能；
设小华求的是n几边形的内角和，这个内角为x度，则0＜x＜180°．
根据题意，得（n-2）•180°-x+（180°-x）=2005°，
解得n=12+

2x+25

180

．
∵n为正整数，
∴2x+25必为180的倍数，
又∵0＜x＜180，
∴

5

36

＜

2x+25

180

＜

77

36

，
∴n=13或14．
∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和，内角和分别为180°×（13-2）=1980°，180°×（14-2）=2160°．
故这个多边形的内角和是1980或2160度．

点评：本题主要考查了多边形的内角和定理及内角与外角的关系，题目较难．n边形的内角和为：180°•（n-2）；多边形的内角与它相邻的外角互为邻补角．