Question

如图，以正方形ABCD边BC为直径，在正方形内作半圆O，过A作半圆的切线AF，切点为E，AF交BC的延长线于点F，求sin∠F的值．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：连接OE，根据切线的性质求得OE⊥AF，进而求得△ABF∽△OEF得出AF=2OF，设正方形的边长为1，再根据AF=2OF求出EF=

1

2

CF，设CF=x，则EF=2x，
即可表示出AF=1+2x，BC=1+x，AB=1，然后根据勾股定理求得CF，得出AF的值即可求出sin∠F；

解答：解：连接OE，
∵AF是半圆O的切线，
∴OE⊥AF，
∴∠B=∠OEF，∠AFB=∠OFE，
∴△ABF∽△OEF，
∴

AF

OF

=

AB

OE

=

2

1

，
∴AF=2OF，
设正方形的边长为1，
∴AB=BC=1，OC=

1

2

，
∵AB⊥CB，
∴AB是半圆O的切线，
∴AB=AE=1，
∴AE+EF=2（OC+CF），即1+EF=2（

1

2

+CF），
∴EF=

1

2

CF，
设CF=x，则EF=2x，
∴AF=1+2x，BC=1+x，AB=1，
∴根据勾股定理：1²+（1+x）²=（1+2x）²，解得：x=

1

3

，
∴AF=1+2×

1

3

=

5

3

，
∴sin∠F=

AB

AF

=

1

5 3

=

3

5

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质以及锐角三角函数的定义等知识点．解题的关键在于根据已知条件找到相似三角形．