Question

如图所示，在△ABC中，E为中线AD上一点，

DE

AE

=

1

2

，连接BE，延长BE交AC于点F，求证：AF=CF．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：证明题

分析：取AC中点F′，连结DF′，BF′，BF′交AD于E′．根据三角形中位线定理可得DF′∥AB，DF′=

1

2

AB，再由△DE′F′∽△AE′B，证明E′与E重合，进而根据两点确定一条直线可得F′与F重合．

解答：证明：取AC中点F′，连结DF′，BF′，BF′交AD于E′．
∵D为BC中点，F′为AC中点，
∴DF′∥AB，DF′=

1

2

AB，
∴△DE′F′∽△AE′B，
∴

DE′

AE′

=

DF′

AB

=

1

2

，
∵

DE

AE

=

1

2

，
∴

DE′

AE′

=

DE

AE

=

1

2

，
∴

DE′

DA

=

DE

DA

=

1

3

，
∵E、E′都是中线AD上的点，
∴E′与E重合，
∵两点确定一条直线
∴BE与AC的交点F′与F重合，
∴AF=CF．

点评：本题实际上考查了三角形的重心的性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．准确作出辅助线是解题的关键．