Question

已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P，下列说法中正确的是（　　）
①△APB是等腰三角形；②∠ABP+∠BPD=180°；③PD+CD=BC；④S_△APB=S_梯形PDCB．

• A、①②④
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据平行四边形的性质得出CB=AD，AB=DC，AD∥BC，求出∠APB=∠ABP，推出AB=AP，即可判断①；根据∠ABP+∠BPD=180°，∠ABP=∠APB即可判断②；求出AP=AB=CD，AD=BC，即可推出③；根据梯形和三角形面积公式即可判断④．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=AD，AB=DC，AD∥BC，
∴∠CBP=∠APB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠APB=∠ABP，
∴AB=AP，∴①正确；
∵∠ABP+∠BPD=180°，∠ABP=∠APB，
∴∠ABP+∠BPD=180°，∴②正确；
∵AP=AB=CD，AD=BC，AP+DP=AD，
∴PD+CD=BC，∴③正确；
设AD和BC之间的距离是h，
则S_△APB=

1

2

AP•h，S_梯形PDCB=

1

2

（PD+BC）•H，
∵BC=AD=AP+DP，
∴S_△APB≠S_梯形PDCB，∴④错误；
故选B．

点评：本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，面积公式的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．