Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x₁，0），C（x₂，0），且x₂﹣x₁=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知x₁、x₂是方程mx²﹣8mx+4m+2=0的两根，

∴x₁+x₂=8，

由

解得：

∴B（2，0）、C（6，0）

则4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m=，

∴该抛物线解析式为：y=；

（2）可求得A（0，3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵

∴

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：

①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，

∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF

=

=

=，

此时最大值为：，

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），

∵P（t，），∴PM=，

∴S_△APC=S_△APF﹣S_△CPF=

=

=，

当t=8时，取最大值，最大值为：12，

综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；

（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，

Q（t，3），P（t，），

①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，

若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，

若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14．