Question

如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；
（2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用直线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC，再根据tan∠CBO=3求出OB，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D的坐标；
（2）根据点A、B的坐标求出AB，判断出△AOC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC，∠BAC=45°，再根据点B、D的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB和BP是对应边时，△ABC和△BPA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP，过点P作PE⊥x轴于E，求出BE、PE，再求出OE的长度，然后写出点P的坐标即可；②AB和BA是对应边时，△ABC和△BAP相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP，过点P作PE⊥x轴于E，求出BE、PE，再求出OE的长度，然后写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）令y=0，则x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，则y=3，
∴点A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=

OC

OB

=3，
∴OB=1，
∴点B（-1，0），
把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

，
∴该抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点D（-2，-1）；

（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

OA=3

2

，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，
∴

AB

BP

=

AC

BA

，
即

2

BP

=

3 2

2

，
解得BP=

2 2

3

，
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=

2 2

3

×

2

2

=

2

3

，
∴OE=1+

2

3

=

5

3

，
∴点P的坐标为（-

5

3

，-

2

3

）；

②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，
∴

AB

BA

=

AC

BP

，
即

2

2

=

3 2

BP

，
解得BP=3

2

，
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=3

2

×

2

2

=3，
∴OE=1+3=4，
∴点P的坐标为（-4，-3），
综上所述，点P的坐标为（-

5

3

，-

2

3

）或（-4，-3）时，以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．