Question

1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．

（2）如图②‚，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．

（3）如图③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．

Answer 1

解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，

∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，

∴∠B′OC′=∠BOC=90°，

∴∠B′OC+∠COC′=90°，

而∠BOB′+∠B′OC=90°，

∴∠B′OB′=∠COC′，

在△BON和△COM中

，

∴△BON≌△COM，

∴CM=BN；

（2）如图②，连接DC′，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，

∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，

∴AC=AB，BC=BO，

∴BD=AB，

∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，

∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，

∴BC′=BO′，

∴==，

∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，

∴∠1=∠2，

∴△BDC′∽△BAO′，

∴==，

∴DC′=AO′；

（3）如图③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=；

在Rt△DAC中，cos∠DAC=，

∵∠EAF=∠DAC=α，

∴==cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，

∴△AED∽△AFC，

∴==cosα．