Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：y＝kx+b经过M，N两点．

（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由．

Answer 1

【答案】（1）（-2，-4）；﹣2＜x＜0 （2）4；y＝﹣x2+6x﹣2 （3）四边形EMBD是平行四边形，理由见解析

【解析】

（1）令抛物线C1的解析式中x＝0，求出y值即可得出点N的坐标，再利用配方法将抛物线C1的解析式配方，即可得出顶点M的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；

（2）找出点M关于x轴对称的对称点的坐标，找出点M关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式；

（3）由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形．

解：（1）令y＝x2+6x+2中x＝0，则y＝2，

∴N（0，2）；

∵y＝x2+6x+2＝（x+2）2﹣4，

∴M（﹣2，﹣4）．

观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0时，抛物线C1在直线l的下方，

∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集为﹣2＜x＜0；

（2）∵y＝x2+6x+2抛物线C1：的顶点为M（﹣2，﹣4），

沿x轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．

∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，

∴抛物线C2的顶点坐标为（2，4），

∴p＝2﹣（﹣2）＝4．

∵抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，

∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+6x﹣2；

（3）令y＝x2+6x+2＝0，则x＝﹣2，

即点E、F的坐标分别为（﹣2﹣，0）、（﹣2+，0），

点M（﹣2，﹣4）；

同理点A、B、D的坐标分别为（2﹣，）、（2+，0）、（2，4），

由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，

经验证该四边形不是矩形、菱形，故四边形EMBD是平行四边形．