Question

26、如图，已知点P在∠AOB的边OA上，
（1）按下列要求作图：
①作∠AOB的平分线OM；
②以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于点C；
③过C作CD⊥OB，垂足为点D．
（2）当PC=2CD时，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析：（1）①以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OM即可；
②根据作一个角等于已知角的做法作出即可；
③以点C为圆心，以大于点C到OB的距离为半径画弧，与AB相交于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点之间的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与点C作直线，与OB相交于点D，则CD就是所要作的线段．
（2）过点C作CH⊥OA于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CH=CD，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半进行解答．

解答：解：（1）如图1所示，即为所要求作的图形．
按步骤完成作图过程（3分）；

（2）如图2，过点C作CH⊥OA，垂足为H，（1分）
∵OM平分∠AOB，CD⊥OB，
∴CH=CD，
∵PC=2CD，
∴PC=2CH，
∴在△PCH中，∠HPC=30°，（1分）
∴∠AOB=30°．（1分）

点评：本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．