Question

已知：AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∠B的平分线BE与AD相交于点F，G是AC边上满足CG=AF的一点（如图），求证：FG∥BC．

Answer 1

分析：先证△A′BF≌△ABF，再证明四边形FA′CG为平行四边形，根据平行四边形的性质可得解．

解答：证明：在BC边上取一点A′，使BA′=BA，连接A′F…（5分）
在△A′BF与△ABF中，∵BA′=BA，BF=BF，∠A′BF=∠ABF，
∴

BA′=BA ∠A′BF=∠ABF BF=BF

，
∴△A′BF≌△ABF（SAS）
∴A′F=AF=CG ①…（10分）
∠BA′F=∠BAF=90°-∠CAD=∠C
∴∠BA′F=∠C，
因此FA′∥GC ②…（15分）
于是，由①和②知，四边形FA′CG为平行四边形，
故FG∥A′C，
即FG∥BC…（20分）

另证：过F作FA′∥AC交BC边于A′点，则∠BA′F=∠C…（5分）
∵∠BAC=90°，且AD⊥BC，∴∠BAF=90°-∠CAD=∠C…（10分）
∴∠BA′F=∠BAF又在△A′BF与△ABF中，
∵∠A′BF=∠ABF，BF=BF，
∴△A′BF≌△ABF∴A′F=AF=CG…（15分）
而FA′∥AC，即FA′∥GC，
∴四边形FA′CG为平行四边形
故FG∥A′C，
即FG∥BC…（20分）

点评：本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟记这些性质定理求解．