Question

【题目】抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC

①求抛物线的解析式；

②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．

（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2-x-；②M坐标为(,)；（2）EF所在直线的纵坐标是定值，理由见解析.

【解析】

(1)①由x=0得到点C坐标为(0，c)，故可以用c表示OA、OB进而表示点A、B坐标，把含c的坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值；

②过点M作MD⊥AC于点D，得出cos∠MAC=,进而MD=4AD．在MD、AD下方构造等腰直角△MDH和△ADG，则相似比为4．设AD=DG=t，用t表示DH和MH，进而用t表示点M坐标，代入抛物线解析式即求得t的值；

(2) 由点P(m，-2)在抛物线上得c+2=-m2-bm．设点E、F纵坐标为n，代入抛物线解析式根据韦达定理得xE+xF=-b，xExF=c-n．过点P作PQ⊥EF于点Q，易证△EPQ∽△PFQ，进而得PQ2=EQFQ，用含n、m、xE、xF的式子表示PQ、EQ、FQ解得n=-1，故点E、F纵坐标为定值．

解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c

∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）

∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c

∴A（c，0），B（﹣2c，0）

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B

∴解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣.

②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH⊥GH于点H，如图1所示：

∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°

∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝

∴AM＝AD

∴MD＝

∵c＝

∴A（，0），B（1，0），C（0，）

∴OA＝OC

∴∠OAC＝45°

∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°

∴△ADG为等腰直角三角形

∴∠ADG＝45°

∴∠MDH＝180°﹣∠ADG﹣∠ADM＝45°

∴△MDH为等腰直角三角形

设AG＝DG＝t，则AD＝t

∴MD＝4AD＝t

∴DH＝MH＝4t

∴xM＝xA+t+4t＝+5t，yM＝4t﹣t＝3t

∵点M在抛物线上

∴（+5t）2（+5t）＝3t

解得：t1＝0（舍去），t2＝

∴xM＝+＝，yM＝

∴点M坐标为（，）

故答案为：（，）.

（2）EF所在直线的纵坐标是定值，理由如下：

过点P作PQ⊥EF于点Q，如图2所示：

∵P（m，﹣2）在抛物线上

∴m2+bm+c＝﹣2，即c+2＝﹣m2﹣bm

∵EF∥x轴且在点P上方

∴xQ＝xP＝m，设yE＝yF＝yQ＝n，n＞﹣2

∴PQ＝n﹣（﹣2）＝n+2

∵x2+bx+c＝n，整理得x2+bx+c﹣n＝0

∴xE+xF＝﹣b，xExF＝c﹣n

∴∠PQE＝∠PQF＝90°

∵∠EPF＝90°

∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPQ+∠PFQ＝90°

∴∠EPQ＝∠PFQ

∴△EPQ∽△PFQ

∴

∴PQ2＝EQFQ

∴（n+2）2＝（m﹣xE）（xF﹣m）

∴n2+4n+4＝mxF﹣m2﹣xExF+mxE

n2+4n+4＝m（xE+xF）﹣m2﹣xExF

n2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）

n2+4n+4＝c+2﹣c+n

解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）

∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．