Question

7．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；  
（2）若BD=OB=4，求弦AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得证；
（2）根据题意得到EB为直角三角形斜边上的中线，求出EB的长，再由OE=OB=EB得到三角形OEB为等边三角形，求出∠ABE=60°，根据AB为圆O直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形AEB为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出AE的长即可．

解答 （1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO=90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠AOC=∠COE，
在△AOC和△EOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠AOC=∠COE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CEO=90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD=OB，
∴BE=$\frac{1}{2}$OD=OB=4，
∵OB=OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=BE•tan60°=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．