Question

【题目】已知如图，在以为原点的平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，，直线过点且平行于轴，，

求抛物线对应的二次函数的解析式；

若为抛物线上一动点，是否存在直线使得点到直线的距离与的长恒相等？若存在，求出此时的值；

如图，若、为上述抛物线上的两个动点，且，线段的中点为，求点纵坐标的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析;(3)2.

【解析】

(1)根据点C坐标,可得c=-1,然后根据AO=2CO,可得出点A坐标,将点A坐标代入求出b值,即可得出函数解析式;
(2)假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,设出点D坐标,分别求出OD和点D到直线l的距离,然后列出等式求出t的值;
(3)作EN⊥直线l于点G,FH⊥直线l于点H,设出点E、F坐标,表示出点M的纵坐标,根据(2)中得出的结果,代入结果求出M纵坐标的最小值.

∵，
∴，
又∵，
∴点坐标为，
代入得：，
解得：，
∴解析式为：；

假设存在直线使得点到直线的距离与的长恒相等，
设，
则，
点到直线的距离：，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故当时，直线使得点到直线的距离与的长恒相等；

作直线于点，直线于点，

设，，
则，，
∵为中点，
∴纵坐标为：，
由得：，，
∴，
要使纵坐标最小，即最小，
当过点时，最小，最小值为，
∴纵坐标最小值为．