题目内容
如图，已知△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，且BD=2AD，点E为边AC的中点，连接DE、DC．求证：AC•DE=AE•DC．
分析：点E为边AC的中点，而AC=BC，得到
=
，∠A=∠B，又BD=2AD，即
=
，则
=
，得到△ADE∽△BDC，得到
=
，等线段代换即可得到结论．
| AE |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| AE |
| BC |
| AD |
| BD |
| DE |
| DC |
| AE |
| BC |
解答：证明：∵点E为边AC的中点，
∴
=
，
∵AC=BC，
∴
=
，
又∵BD=2AD，
∴
=
，
∴
=
，
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴△ADE∽△BDC，
∴
=
，
∵AC=BC，
∴
=
，
即AC•DE=AE•DC．
∴
| AE |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∵AC=BC，
∴
| AE |
| BC |
| 1 |
| 2 |
又∵BD=2AD，
∴
| AD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| BC |
| AD |
| BD |
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴△ADE∽△BDC，
∴
| DE |
| DC |
| AE |
| BC |
∵AC=BC，
∴
| DE |
| DC |
| AE |
| AC |
即AC•DE=AE•DC．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．
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