题目内容
将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．（1）如果正方形边长为2，M为CD边中点．求EM的长．
（2）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（3）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．
分析：（1）设DE为x，则根据折叠知道DM=1，EM=EA=2-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，继而求出EM的长；
（2）由（1）可得出DE，DN，EM的长，从而求出它们的比值；
（3）△CMG的周长与点M的位置无关．设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4a2-x2=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．
（2）由（1）可得出DE，DN，EM的长，从而求出它们的比值；
（3）△CMG的周长与点M的位置无关．设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4a2-x2=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．
解答：证明：（1）DE为x，则DM=1，EM=EA=2-x，
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE2+DM2=EM2
x2+12=（2-x）2
x=
，
∴EM=
．
（2）设正方形的边长为2，由（1）知，DE=
，DM=1，EM=
∴DE：DM：EM=3：4：5；
（3）△CMG的周长与点M的位置无关．
证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴
=
=
即
=
=
，
∴CG=
，MG=
，
△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即x2+y2=（2a-y）2
整理得4a2-x2=4ay，
∴CM+MG+CG=
=4a．
所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE2+DM2=EM2
x2+12=（2-x）2
x=
| 3 |
| 4 |
∴EM=
| 5 |
| 4 |
（2）设正方形的边长为2，由（1）知，DE=
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴DE：DM：EM=3：4：5；
（3）△CMG的周长与点M的位置无关．
证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴
| CG |
| DM |
| CM |
| DE |
| MG |
| EM |
| CG |
| x |
| 2a-x |
| y |
| MG |
| 2a-y |
∴CG=
| x(2a-x) |
| y |
| (2a-x)(2a-y) |
| y |
△CMG的周长为CM+CG+MG=
| 4a2-x2 |
| y |
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即x2+y2=（2a-y）2
整理得4a2-x2=4ay，
∴CM+MG+CG=
| 4ay |
| y |
所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．
点评：本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．
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