Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=

a

2

，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；
（2）△CMG的周长与点M的位置无关．设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax-x²=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．

解答：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=

a

2

，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+（

a

2

）²=（a-x）²
x=

3a

8

EM=

5a

8

DE：DM：EM=3：4：5；

（2）解：△CMG的周长与点M的位置无关．
证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90度．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

即

CG

2a-x

=

x

y

=

MG

2a-y

∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

x(2a-y)

y

△CMG的周长为CM+CG+MG=

4ax-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay
∴CM+MG+CG=

4ax-x2

y

=

4ay

y

=4a．
所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．

点评：正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．