Question

3．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=$\sqrt{2}$-1，则△ABC的周长为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE=r，由OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，可得方程：$\sqrt{2}$-1+r=$\sqrt{2}$r，解此方程，即可求得答案．

解答 解：连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴∠EOB=∠EBO=45°，
∴OE=EB，
∴△OEB是等腰直角三角形，
设OE=r，
∴BE=OE=OG=r，
∴OB=OG+BG=$\sqrt{2}$-1+r，
∵OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，
∴$\sqrt{2}$-1+r=$\sqrt{2}$r，
∴r=1，
∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$．
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=4+2$\sqrt{2}$．
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．