Question

阅读下列材料：    我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=．   
 例：求点P（1，2）到直线y=x﹣的距离d时，先将y=化为5x﹣12y﹣2=0，再由上述距离公式求得d==．    
解答下列问题：    
如图2，已知直线y=﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，
抛物线y=x²﹣4x+5上的一点M（3，2）．    
（1）求点M到直线AB的距离．    
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将直线AB变为：4x+3y+12=0，
又M（3，2），则点M到直线AB的距离d==6；
（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，
设P坐标为（a，a²﹣4a+5），
∵y=3a²﹣8a+27中，△=64﹣12×27=﹣260＜0，
∴y=3a²﹣8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d==，
又函数y=3a²﹣8a+27，当a=时，ymin=，
∴dmin==，此时P坐标为（，）；
又y=﹣x﹣4，令x=0求出y=﹣4，令y=0求出x=﹣3，OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB==5，
S△PAB的最小值为×5×=．