题目内容

如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．
由题意可知：ED=t，BC=8，FD=4-2t，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
解得t=4．
∴当t=4时，两点同时停止运动；

（2）∵ED=t，CF=2t，
∴S=S_△BCE+S_△ECF= $\text{[math]}$ ×8×4+ $\text{[math]}$ ×2t×t=16+t²．
即S=16+t²．（0≤t＜4）；

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，
EC²=4²+t²=t²+16，
∴5t²-16t+16=t²+16．
∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，
∵EC²=4²+t²=t²+16，FC²=4t²，
∴t²+16=4t²
．∴ $\text{[math]}$ ；
③若EF=FC时，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，FC²=4t²，
∴5t²-16t+16=4t²．
∴t₁=8+4 $\text{[math]}$ （舍去），t₂=8-4 $\text{[math]}$ ．
∴当t的值为4， $\text{[math]}$ ，8-4 $\text{[math]}$ 时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°， $\text{[math]}$ ，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE²=t²-16t+80，
∴t²-16t+80=64．
∴t₁=8+4 $\text{[math]}$ （舍去），t₂=8-4 $\text{[math]}$ ．
∴当t=8-4 $\text{[math]}$ 时，∠BEC=∠BFC．
分析：（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S_△BCE，S_△BCF两部分，结合（1）确定t的取值范围；
（3）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论；
（4）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值．
点评：本题数形结合，综合性较强，将行程问题与矩形有机的整合，有一定的思维容量．