Question

【题目】在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．

（1）求的值和点的坐标；

（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；

Answer 1

【答案】（1），点D（3，4）；

（2）P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）.

【解析】

（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；
（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可

解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称
∴B（-1，0）
∵过点B
∴，
∴一次函数解析式为
当时，，
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，
∴ ；
若为等腰三角形，则有以下三种情况：
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则，
∴P1（5，0）．
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则，
∵
∴，
∴，
∴P2（6，0）．
③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则，
易知，
∴ ,
即： ，

∴，
∴P3（，0）；
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．