Question

2．如图所示，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点B、点C的坐标；
（3）该二次函数图象上有一动点D（x，y），使S_△ABD=S_△ABC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；
（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；
（3）因为S_△ABD=S_△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3和y=-3时对应的点即可．

解答 解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x²+2x+m得：
-9+6+m=0，
m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，
x²-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
∴x=-1或3，
∴B（-1，0）；
（3）∵S_△ABD=S_△ABC，
当y=3时，-x²+2x+3=3，
-x²+2x=0，
x²-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或2，
当y=-3时，-x²+2x+3=-3，
-x²+2x+6=0，
x²-2x-6=0，
解得：x=1±$\sqrt{7}$，
综上所述，点D的坐标为（2，3）或（1$+\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，待定系数法就是将已知的点代入解析式中列方程或方程组求解，对于抛物线与x轴的交点，令y=0代入即可，抛物线与y轴的交点，令x=0代入即可．