Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，点A（a，0）、点B（a-4，0），位于原点两侧，且∠ABC=60°，AE⊥BC，交y轴于点F，交BC于点E，点D在点B的左侧，且∠CDO=45°，AB=2BD
（1）直接写出∠BCD的度数、AB的长及点C的纵坐标（用含有a的式子表示）
①∠BCD=15°
②AB=4
③C（0，6-a）
（2）求∠ACD的度数；
（3）求点F的坐标（用含有a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①在△BCD中利用三角形外角的性质可求得∠BCD；②利用A、B的坐标可求得AB的长；③由条件可求得OD的长度，则可求得OC的长，可求得C点纵坐标；
（2）连接DE，利用直角三角形的性质可求得BE=BD，进一步可求得DE=AE，可求得CE=AE，则可求得∠ACD；
（3）在Rt△OAF中可求得∠FAO，利用三角函数值可求得OF的长，则可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）①∵∠CDO=45°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠ABC-∠CDO=60°-45°=15°
故答案为：15°；
②∵A（a，0）、点B（a-4，0），
∴AB=a-（a-4）=4，
故答案为：4；
③∵AB=2BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AD=AB+BD=6，且OA=a，
∴OC=OD=6-a，
∴C（0，6-a），
故答案为：6-a；
（2）如图同，连接DE，

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CEF=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2BD，即BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠BED，
∵∠EDB+∠BED=∠ABC=60°，
∴∠EDB=30°，
∴∠CDE=∠CDO-∠EDB=15°，
∴∠CDE=∠BCD=15°，
∴DE=CE，
∵∠EDB=∠BAE=30°，
∴DE=AE，
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACD=∠ACE+∠BCD=45°+15°=60°；
（3）由（2）可知∠BAE=30°，且OA=a，
∴$\frac{OF}{OA}$=tan∠BAE，即$\frac{OF}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质及三角函数等知识．在（2）中构造三角形，证明△ACE为等腰直角三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．