Question

如图，反比例函数y=

k

x

（k＞0）与一次函数y=

1

2

x+b的图象相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB交y轴与C，当|x₁-x₂|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（　　）

• A、k=

  1

  2

  ，b=2
• B、k=

  4

  9

  ，b=1
• C、k=

  1

  3

  ，b=

  1

  3

• D、k=

  4

  9

  ，b=

  1

  3

Answer 1

分析：首先由AC=2BC，可得出A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．再由|x₁-x₂|=2，可求出A点与B点的横坐标，然后根据点A、点B既在一次函数y=

1

2

x+b的图象上，又在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，可求出k、b的值．

解答：解：∵AC=2BC，
∴A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．
∵点A、点B都在一次函数y=

1

2

x+b的图象上，
∴可设B（m，

1

2

m+b），则A（-2m，-m+b）．
∵|x₁-x₂|=2，
∴m-（-2m）=2，
∴m=

2

3

．
又∵点A、点B都在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴

2

3

（

1

3

+b）=（-

4

3

）（-

2

3

+b），
∴b=

1

3

；
∴k=

2

3

（

1

3

+

1

3

）=

4

9

．
故选D．

点评：此题综合考查了反比例函数、一次函数的性质，注意通过解方程组求出k、b的值．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．