Question

19．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是$\widehat{BDC}$的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且$\widehat{BF}=\widehat{AD}$．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且$\widehat{BF}=\widehat{AD}$就可以；
（2）A是$\widehat{BDC}$的中点，的中点，则AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵$\widehat{BF}=\widehat{AD}$，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；

（2）解：∵A是$\widehat{BDC}$的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$
∴AB=AC=8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC，$\frac{DC}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
即$\frac{5}{8}=\frac{8}{AE}$，
∴AE=$\frac{64}{5}$，
∴tan∠CAD=tan∠AEC=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{8}{\frac{64}{5}}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．