Question

如图，△ABC中，BC=2，∠C=2∠A=45°，在AC边上取一点O，以点O为圆心，OA为半径的圆与AC边相交于点D，⊙O经过点B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接OB，由OA=OB得∠A=∠OBA，根据三角形外角性质可得∠BOC=2∠A，由于∠C=2∠A=45°，所以∠BOC=45°，于是得到∠OBC=90°，则可根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
（2）由∠C=∠BOC=45°，可判断△OBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得OB=BC=2，OC=

2

BC=2

2

，所以CD=OC-OD=2

2

-2．

解答：（1）证明：连接OB，如图，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠BOC=∠A+∠OBA=2∠A，
而∠C=2∠A=45°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C=∠BOC=45°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=BC=2，OC=

2

BC=2

2

，
∴CD=OC-OD=2

2

-2．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．