Question

如图，∠AOB是直角，在∠AOB外作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）若∠AOC=38°，求∠MON的度数．
（2）若∠AOC=α，①试说明∠MON的大小与α无关；②若∠AON=20°，求α的大小．

Answer 1

分析：（1）先求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COM、∠CON，然后根据∠MON=∠CON-∠COM，代入数据进行计算即可得解；
（2）①根据（1）的思路计算即可得解；②表示出∠CON，再根据∠AON=∠CON-∠AOC，代入数据得到方程求解即可．

解答：解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=38°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+38°=128°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

×38°=19°，
∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

×128°=64°，
∴∠MON=∠CON-∠COM，
=64°-19°，
=45°；

（2）①∵∠AOB是直角，∠AOC=α，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

α，
∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

（90°+α）=45°+

1

2

α，
∴∠MON=45°+

1

2

α-

1

2

α=45°；
故∠MON的大小与α无关；
②∠CON=45°+

1

2

α，
∠AON=∠CON-∠AOC=45°+

1

2

α-α=20°，
解得α=50°．

点评：本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．