题目内容

如图，已知直线y= $数学公式$ x与双曲线y= $数学公式$ 交于A、B两点，且点A的横坐标为 $数学公式$ ．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y= $数学公式$ 上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y= $数学公式$ 上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．

解：（1）把点A的横坐标为 $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x，∴其纵坐标为1，
把点（ $\text{[math]}$ ，1）代入y= $\text{[math]}$ ，解得：k= $\text{[math]}$ ．

（2）∵双曲线y= $\text{[math]}$ 上点C的纵坐标为3，∴横坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴过A，C两点的直线方程为：y=kx+b，把点（ $\text{[math]}$ ，1），（ $\text{[math]}$ ，3），代入得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x+4，设y=- $\text{[math]}$ x+4与x轴交点为D，
则D点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
∴△AOC的面积=S_△COD-S_△AOD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ．

（3）设P点坐标（a， $\text{[math]}$ a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P在直线y= $\text{[math]}$ x上，
∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入y= $\text{[math]}$ ，解得纵坐标为： $\text{[math]}$ ，
根据OP=NP，即得：| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |，
解得：a=±1．
故P点坐标为：（1， $\text{[math]}$ ）或（-1，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）把点A的横坐标为 $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入y= $\text{[math]}$ 求出k即可．
（2）根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据△AOC的面积=S_△COD-S_△AOD求解即可．
（3）设P点坐标（a， $\text{[math]}$ a），根据题意，点M只能在纵坐标轴上，
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数图象上坐标的特征，难度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式．