Question

已知一条抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD的解析式为y=x+3，并且线段CD的长为。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在点B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙M，请你判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由。

Answer 1

（1）由题得C（0，3），设顶点D（x，y），∵点D在直线y=x+3上，∴D（x，x+3），得
解得
∴D（3，6）或（-3，0），当D（3，6）时，设抛物线为

∵抛物线过（0，3）点，∴
当（-3，0）时，同理可得
∴所求抛物线为：
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，y=不合题意，舍去。
抛物线应为：，
令y=0，得，
解得，
∵点A在B的左侧，∴A（，0），B（，0），

（3）直线CD与⊙M相切，⊙M的半径，M（3，0），
设直线y=x+3与x轴交于点E，则E（-3，0），ME=6，
∴OE=OC，
∴∠OEC=45°，
作MG⊥CD于G，则CE=CM，
得，，
即圆心M到直线CD的距离等于⊙M的半径，
∴直线CD与⊙M相切