Question

已知一条抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD的解析式为y=x+3，并且线段CD的长为3

2

．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在点B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙M，请你判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：①抛物线过C（0，3），D₁（-3，0）时；②抛物线过C（0，3），D₂（3，6）时，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）利用（1）中的抛物线的图象知：抛物线与x轴有两个交点只有②；然后求得该抛物线与x轴的两个顶点坐标A（3-3

2

，0）、B（3+3

2

，0）；最后由两点间的距离公式来求线段AB的长；
（3）直线CD与⊙M相切．过M作MG⊥CD于G．由已知和（2）推知M（3，0），然后根据勾股定理的逆定理证得此结论．

解答：解：（1）由已知可得：C（0，3），D₁（-3，0），D₂（3，6）…2分
①抛物线过C（0，3），D₁（-3，0）时，
设y₁=a（x+3）²过（0，3）∴a=

1

3

…3分
∴y1=

1

3

(x+3)2=

1

3

x2+2x+3…4分
②抛物线过C（0，3），D₂（3，6）时
设y₂=a（x-3）²+6过（0，3）∴a=-

1

3

…5分
∴y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3…6分

（2）（1）中的抛物线与x轴有两个交点只有②…7分
即y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3
令y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3=0得x1=3-3

2

，x2=3+3

2

∴A（3-3

2

，0）、B（3+3

2

，0）…8分
∴|AB|=6

2

…9分
（或者不解方程，直接计算|AB|=

△

|a|

）

（3）直线CD与⊙M相切．…10分
图象及图形如图所示．过M作MG⊥CD于G，
由已知和（2）知M（3，0）∴MG=CD=3

2

=

1

2

|AB|…11分
∴直线CD与⊙M相切．…12分
（答案仅参考，若有不同解法，过程和解法都正确，可相应给分）

点评：本题考查了二次函数的综合题．解答（1）时，注意要分类讨论，以防漏解．