Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c过顶点A（0，2），以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．

（1）求抛物线的解析式.

（2）若MN与直线y＝﹣2x平行，M（x1，y1），N（x2，y2），M，N都在抛物线上，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，解决以下问题：

①求证：.

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+2；（2）①证明见解析；②﹣＜y0≤0．

【解析】

（1）由顶点坐标为（0，2）可得c=2，由对称轴为y轴可得b=0，△ABC为等腰三角形，根据有一个角是60°可得△ABC是等边三角形，设线段BC与y轴的交点为点D，连接OB，根据垂径定理可得BD＝CD，根据外心的定义可得∠OBD=30°，利用∠OBD的正弦和余弦值可求出OD和BD的长，即可得得B坐标，代入抛物线解析式可求出a值，即可得答案；（2）①根据MN与y=﹣2x平行设直线MN的解析式为y＝﹣2x+m，把M点坐标代入可得m＝﹣x12+2x1+2，即可得出MN的解析式，代入y＝﹣x2+2可用x1表示出x2，进而可表示出y2，分别用x1表示出∠MBE和∠NBF的正切函数即可得结论；②过M作ME⊥y轴于E，由y轴为BC的垂直平分线，可知△NBC的外心在y轴上，设外心P坐标为（0，y0），可得PB=PM，利用勾股定理可用y1表示出y0，根据y1的取值范围即可得答案.

（1）∵抛物线过点A（0，2），

∴c＝2，

∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b＝0，

∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，y轴为抛物线对称轴，

∴B、C关于y轴对称，

∴△ABC为等腰三角形，

∵△ABC中有一个角为60°，

∴△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝2，

设线段BC与y轴的交点为点D，连接OB，

∵AD⊥BC，AD过圆心，

∴BD＝CD，

∵O为△ABC的外心，△ABC为等边三角形，

∴∠OBD＝30°，

∴BD＝OBcos30°＝，OD＝OBsin30°＝1，

∵B在C的左侧，

∴B的坐标为（﹣，﹣1），

∵B点在抛物线上，且c＝2，b＝0，

∴3a+2＝﹣1，

解得：a＝﹣1，

则抛物线解析式为y＝﹣x2+2.

（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），

∵MN与直线y＝﹣2x平行，

∴设直线MN的解析式为y＝﹣2x+m，

∴﹣x12+2＝﹣2x1+m，即m＝﹣x12+2x1+2，

∴直线MN解析式为y＝﹣2x﹣x12+2x1+2，

把y＝﹣2x﹣x12+2x1+2代入y＝﹣x2+2，

解得：x＝x1或x＝2﹣x1，

∴x2＝2﹣x1，即y2＝﹣（2﹣x1）2+2＝﹣x12+4x1﹣10，

如图2所示，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，

∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，

∴y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，

∴ME＝y1﹣（﹣1）＝﹣x12+3，BE＝x1﹣（﹣）＝x1+，

NF＝﹣1﹣y2＝x12﹣4x1+9，BF＝x2﹣（﹣）＝3﹣x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝＝﹣x1，

在Rt△BFN中，tan∠NBF＝＝

＝

＝

＝-x1，

∴=.

②过M作ME⊥y轴于E，

∵y轴为BC的垂直平分线，

∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB＝PM，即PB2＝PM2，

∵B的坐标为（﹣，﹣1），

∴PD=y0+1，PD=，ME=x1，PE=y1﹣y0，

根据勾股定理得：3+（y0+1）2＝x12+（y1﹣y0）2，

∵x12＝2﹣y1，

∴y02+2y0+4＝（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0＝y1﹣1，

由①得：﹣1＜y1≤2，

∴﹣＜y0≤0，

则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．