Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象经过点M（1，0），顶点坐标（m，n）

（1）当x＜5时，y随x的增大而增大，求b的取值范围；

（2）求n关于m的函数解析式；

（3）求该二次函数的图象顶点最低时的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b≥5；（2）n＝m2﹣2m+1；（3）y＝﹣x2+2x﹣1．

【解析】

（1）由二次函数y＝﹣x2+2bx+c可知开口向下，求出对称轴为x＝b，进而求得b的取值范围.

（2）由图象经过点M（1，0），可将M点坐标代入求出c＝1﹣2b，进而利用顶点坐标公式即可求值.

（3）由n＝（m﹣1）2，可求得最低点（1，0），进而代入求得函数解析式.

解：（1）由二次函数y＝﹣x2+2bx+c可知开口向下，对称轴为直线x＝b，

∵当x＜5时，y随x的增大而增大，

∴b≥5；

（2）∵二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象经过点M（1，0），

∴﹣1+2b+c＝0，

∴c＝1﹣2b，

∵m＝b，n＝＝c+b2＝1﹣2b+b2，

∴n＝m2﹣2m+1；

（3）∵n＝（m﹣1）2，

∴顶点有最低点（1，0），

∵a＝﹣1，

∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2＝﹣x2+2x﹣1．