Question

已知△ABC中，∠A=60°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=

120

°．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O₁、O₂，则∠BO2C=

100

°．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1（内部有n-1个点），求∠BO_n-1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1，若∠BO_n-1C=90°，求n的值．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．
（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C．
（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．
（4）依据（3）的结论即可求出n的值．

解答：解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BOC=120°；

（2）∵点O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BO₂C=100°；

（3）∵点O_n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=

n-1

n

（∠ABC+∠ACB）=

n-1

n

×120°，
∴∠BO_n-1C=180°-

n-1

n

×120°=（1+

2

n

）×60°；

（4）由（3）得：（1+

2

n

）×60°=90°，
解得：n=4．

点评：此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理．根据题意找出规律是解题的关键．