Question

10．已知：△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=4．将△ABC沿AC翻折，点B落在B′点，连接并延长A B′与线段BC的延长线相交于点D，求AD的长．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AD于E，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=75°，根据翻折变换的性质求出∠BAB′，再根据三角形的内角和等于180°求出∠D=45°，然后解直角三角形求出AE、BE，最后根据AD=AE+DE计算即可得解．

解答 解：过点B作BE⊥AD于E，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=75°，
∵△ABC沿AC翻折，
∴∠BAB’=2∠BAC=60°，
∴∠D=180°-∠BAB′-∠ABC=180°-60°-75°=45°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=4，∠BAE=60°，
∴AE=2，BE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BED中，∠BED=90°，∠D=45°，BE=2$\sqrt{3}$，
∴ED=2$\sqrt{3}$，
∴AD=AE+ED=2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，难点在于作辅助线构造出两个直角三角形．