Question

如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形．它们分别是正五边形ABFKL、BCJIE、ACHGD，试探究：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

（不需证明）

（3）四边形ADEF一定存在吗？为什么？

Answer 1

（1）∵正五边形ABFKL、BCJIE， ∴BF=BA，BE=BC----------1分

又∵∠3＝108°－∠2＝∠1-------------1分； ∴△FBE≌△ABC∴EF＝AC，∠4＝∠5

∵正五边形ACHGD，∴AC＝DA， ∴EF＝DA--------------------1分；

又∵∠FAD＝360°－∠BAF－∠4－∠CAD＝360°－36°－108°－∠4＝216°－∠4；

∠EFA＝∠5－∠AFB＝∠5－36°；

∴∠FAD＋∠EFA＝216°－∠4＋∠5－36°＝180°，

∴EF∥DA，∴四边形ADEF是平行四边形；-----------------3分

（2）当∠BAC=126°，且AB=AC(或AC=2cos36°)时，四边形ADEF是正方形；-------（两个条件各2分，共4分）

（3）当∠BAC=36°时，点D、A、F在同一直线上，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在（2分）