Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以A为圆心的⊙A与边BC相切于点D．与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF、EF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若0A的半径为3，BC=8．求EF的长．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△AED≌△AFD，则该全等三角形的对应边相等；
（2）根据等腰△AEF、等腰△ABC“三合一”的性质证得AD⊥EF，AD⊥BC，则EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例来求线段EF的长度．

解答：（1）证明：如图，连接AD．
∵⊙A与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠EAD=∠FAD．
∵在△AED与△AFD中，

AE=AF ∠EAD=∠FAD AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF；

（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=4．
又∵0A的半径为3，即AD=3，
∴根据勾股定理求得AC=

AD2+DC2

=5；
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，
∴AD⊥EF．
又∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AF

AC

，即

EF

8

=

3

5

，
∴EF=

24

5

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．