Question

（1）如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，则FG=DG，求出此时DG的值；
（2）如图2，矩形ABCD中，AD＞AB，AB=1，点E是AD边的中点，同样将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G．
①证明：FG=DG；
②若点G恰是CD边的中点，求AD的值；
③若△ABE与△BCG相似，求AD的值．

Answer 1

（1）解：设DG为x，
由题意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：BG²=BC²+CG²，
有：（1+x）²=1²+（1-x）²，
解得：．
∴DG=；

（2）①证明：连接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

②解：若G是CD的中点，则DG=CG=，
在Rt△BCG中，，
∴AD=．

③解：由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=∠ABG，
∴∠ABE=∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=，
∴AD=2AE=．
分析：（1）首先设DG为x，则由正方形的性质即可求得BG与CG的值，利用勾股定理构造方程，解方程即可求得DG的值；
（2）①首先连接EG，由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，则可证得DG=FG；
②由G是CD的中点，得到DG与CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的长；
③由平行线与翻折变换的性质，易得：∠ABE=∠CGB，又由相似三角形的性质与三角函数的性质，即可求得AD的值．
点评：此题考查了翻折变换的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．