Question

如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB=2，则AP等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  2 10

  5

• C、

  2 5

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：设点S为BC的中点，连接，DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，从而可证△DCS≌△DPS，也推∠DPS=∠DCB=90°，然后求出AP、PF，再根据勾股定理求出AP．

解答：解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，
∴DP=CD=2，PS=CS=1，即DS是PC的中垂线，
∴△DCS≌△DPS，
∴∠DPS=∠DCB=90°，
∴DS=

DC2+CS2

=

22+12

=

5

，
由三角形的面积公式可得PC=

4 5

5

，
∵BC为直径，
∴∠CPB=90°，
∴PB=

BC2-PC2

=

2 5

5

，
∴PE=FB=

PC•PB

BC

=

4

5

，
∴PF=BE=

PB2-PE2

=

2

5

，
∴AF=AB-FB=

6

5

，
∴AP=

AF2+PF2

=

2 10

5

故选B．

点评：本题利用了正方形的性质，中垂线的性质，勾股定理，射影定理求解．